На сторонах угла D отмечены точки M и K так, что DM равен DK. Точка P лежит внутри угла D, и PK равен PM. Докажите, что луч DP биссектриса угла MDK

Для доказательства того, что луч $DP$ является биссектрисой угла $\angle MDK$, рассмотрим следующее:

Дано:

1. $DM = DK$ (треугольник $\triangle DMK$ равнобедренный с вершиной $D$).
2. $PK = PM$ (точка $P$ равноудалена от точек $M$ и $K$).
3. Точка $P$ лежит внутри угла $\angle MDK$.

Требуется доказать:

Луч $DP$ делит угол $\angle MDK$ на два равных угла.

Доказательство:

1. Рассмотрим треугольники $\triangle DPM$ и $\triangle DPK$:

   • В этих треугольниках $DM = DK$ (по условию).
   • $PM = PK$ (по условию).
   • Сторона $DP$ общая для обоих треугольников.

   По первому признаку равенства треугольников ($две стороны и угол между ними$), получаем, что:

   $$\triangle DPM \cong \triangle DPK.$$

2. Вывод из равенства треугольников: Из равенства треугольников следует, что:

   • $\angle DPM = \angle DPK$.

   Это означает, что луч $DP$ делит угол $\angle MDK$ на два равных угла, то есть является биссектрисой угла $\angle MDK$.

Заключение:

Таким образом, мы доказали, что луч $DP$ является биссектрисой угла $\angle MDK$.