Острый угол равен 30°, а высоты, проведённые из вершины тупого угла, равны 2 и 3. Найти площадь параллелограмма.

Рассмотрим задачу по шагам.

У нас есть параллелограмм, у которого один острый угол равен 30°, а значит, тупой угол — 150° (так как сумма соседних углов параллелограмма всегда 180°). Даны высоты, проведённые из вершины тупого угла (т.е. из угла в 150°), на противоположные стороны. Эти высоты равны 2 и 3.

Что это значит?

В параллелограмме можно провести две высоты из одной вершины (например, из вершины тупого угла):

• одна высота опускается на одну сторону (основание),

• вторая — на соседнюю сторону (другое основание).

Высота всегда перпендикулярна к соответствующему основанию. А значит, у нас есть два возможных способа вычислить площадь параллелограмма:

Формула площади параллелограмма через основание и высоту:

где:

• $a$ и $b$ — длины сторон параллелограмма,

• $h_a$ и $h_b$ — соответствующие высоты, опущенные на эти стороны.

Также можно использовать другую формулу площади параллелограмма через две стороны и синус угла между ними:

где $a$ и $b$ — соседние стороны, а $\theta$ — угол между ними.

Теперь, используем обе формулы, чтобы найти стороны, а потом и площадь.

Шаг 1: Обозначим стороны

Пусть стороны параллелограмма — $a$ и $b$. Высота на сторону $a$ равна 2, а на сторону $b$ — 3. Угол между ними — 150°.

Тогда:

Поскольку синус 150° равен синусу 30°, а $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$, получаем:

Шаг 2: Выразим стороны через площадь

Из первых двух выражений:

Подставим их в формулу:

Вычислим:

Теперь умножим обе части уравнения на 12:

Решения:

Площадь не может быть равна нулю, значит:

Ответ:

Площадь параллелограмма равна 12.