Докажите, что четырёхугольник ABCD является ромбом, если A(0;2;0), B(1;0;0), C(2;0;2), D(1;2;2).

Для доказательства, что четырёхугольник ABCD является ромбом, нужно показать, что все его стороны равны.

Для этого рассчитаем длины всех сторон четырёхугольника. Длины отрезков между точками в пространстве можно найти с помощью формулы расстояния между двумя точками $(x_1, y_1, z_1)$ и $(x_2, y_2, z_2)$:

1. Длина стороны AB:
   Точки A(0, 2, 0) и B(1, 0, 0). Подставляем их в формулу:

   $$AB = \sqrt{(1 - 0)^2 + (0 - 2)^2 + (0 - 0)^2} = \sqrt{1^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$$

2. Длина стороны BC:
   Точки B(1, 0, 0) и C(2, 0, 2). Подставляем их в формулу:

   $$BC = \sqrt{(2 - 1)^2 + (0 - 0)^2 + (2 - 0)^2} = \sqrt{1^2 + 0^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$$

3. Длина стороны CD:
   Точки C(2, 0, 2) и D(1, 2, 2). Подставляем их в формулу:

   $$CD = \sqrt{(1 - 2)^2 + (2 - 0)^2 + (2 - 2)^2} = \sqrt{(-1)^2 + 2^2 + 0^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$$

4. Длина стороны DA:
   Точки D(1, 2, 2) и A(0, 2, 0). Подставляем их в формулу:

   $$DA = \sqrt{(0 - 1)^2 + (2 - 2)^2 + (0 - 2)^2} = \sqrt{(-1)^2 + 0^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$$

Так как все стороны ABCD равны, то четырёхугольник ABCD является ромбом.