в выпуклом четырёхугольнике abcd все стороны имеют разные длины Диагонали четырёхугольника пересекаются в точке О. ОС = 5 см, ОВ = 6 см, ОА = 15 см, OD = 18 см. а) Докажите, что четырехугольник ABCD является трапецией. б) Найдите отношение площадей треугольников AOD и ВОС

Решение

Рассмотрим выпуклый четырёхугольник $ABCD$ с диагоналями, пересекающимися в точке $O$. Нам даны следующие расстояния:

• $OA = 15 \, \text{см}$,
• $OB = 6 \, \text{см}$,
• $OC = 5 \, \text{см}$,
• $OD = 18 \, \text{см}$.

Шаг 1: Докажем, что четырёхугольник $ABCD$ является трапецией

Чтобы доказать, что четырёхугольник $ABCD$ является трапецией, нужно показать, что одна пара его сторон параллельна. Это можно доказать, используя свойства диагоналей.

Для выпуклого четырёхугольника, чтобы он был трапецией с одной парой параллельных сторон, необходимо, чтобы диагонали делили друг друга на отрезки, пропорциональные длинам параллельных сторон. Если рассмотреть диагонали $AC$ и $BD$, можно воспользоваться следующим свойством:

Если в четырёхугольнике $ABCD$ диагонали делятся в одной точке пропорционально, то противоположные стороны параллельны.

В нашем случае:

и

Получается, что отношения отрезков диагоналей, на которые они делятся точкой пересечения $O$, равны. Это означает, что стороны $AB$ и $CD$ параллельны, а значит, четырёхугольник $ABCD$ действительно является трапецией.

Шаг 2: Найдём отношение площадей треугольников $AOD$ и $BOC$

Теперь найдём отношение площадей треугольников $AOD$ и $BOC$. Известно, что площади треугольников, образованных диагоналями выпуклого четырёхугольника, пропорциональны произведениям длин отрезков, на которые делятся диагонали.

Для треугольника $AOD$ основание — это $OD$, а высота, проведённая из точки $A$ на прямую $OD$, будет зависеть от длины отрезка $OA$. Для треугольника $BOC$ основание — это $OB$, а высота, проведённая из точки $B$ на прямую $OC$, зависит от длины $OC$.

Таким образом, отношение площадей треугольников $AOD$ и $BOC$ будет равно отношению произведений отрезков:

Подставим значения:

Ответ

а) Четырёхугольник $ABCD$ является трапецией, так как одна пара его сторон параллельна.

б) Отношение площадей треугольников $AOD$ и $BOC$ равно $9$.