Высота CD прямоугольного треугольника ABC отсекает от гипотенузы AB =9см отрезок AD=4см. Докажите, что треугольник ABC подобен треугольнику ACD и найдите AC.

Пусть ∠C = 90°, CD — высота к гипотенузе AB, D ∈ AB, AB = 9 см, AD = 4 см.

1. Подобие ∆ABC и ∆ACD.
   Точки A, D, B лежат на одной прямой, значит ∠CAD = ∠CAB (они опираются на одну и ту же полупрямую AD⊂AB).
   Кроме того, ∠C = 90°, а ∠CDA = 90° (CD ⟂ AB).
   Тогда острые углы во всех треугольниках дополняют одинаково: из равенства ∠CAD = ∠CAB следует ∠ACD = ∠ABC.
   Итак, у треугольников ABC и ACD равны две пары углов ⇒ ∆ABC ∼ ∆ACD (по признаку AA).

2. Следствие подобия.
   При установленном соответствии вершин A ↔ A, B ↔ C, C ↔ D получаем отношение соответствующих сторон:
   AB : AC = AC : AD.

Отсюда AC² = AB · AD = 9 · 4 = 36, значит AC = 6 см.

Ответ: AC = 6 см; ∆ABC подобен ∆ACD по двум углам.