Высота CD прямоугольного треугольника АВС делит гипотенузу, АВ на части АD =16 cм, BD = 9см. Докажите, что треугольник АСD подобен треугольнику CBD,и найди
те высоту СD.
СРОЧНООО!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

Задача на доказательство подобия треугольников и нахождение высоты в прямоугольном треугольнике. Давайте разберем её шаг за шагом.

Условия задачи:

• Треугольник $ABC$ — прямоугольный.
• Высота $CD$ делит гипотенузу $AB$ на две части: $AD = 16$ см и $BD = 9$ см.
• Нужно доказать, что треугольник $ACD$ подобен треугольнику $CBD$, и найти длину высоты $CD$.

Шаг 1: Докажем подобие треугольников

Треугольники $ACD$ и $CBD$ являются прямоугольными (поскольку $CD$ — высота прямоугольного треугольника), и нам нужно показать, что они подобны.

Для этого воспользуемся критерием подобия треугольников по углам: два треугольника подобны, если у них равны два угла.

1. Углы $\angle ACD$ и $\angle CBD$ — прямые (по определению высоты в прямоугольном треугольнике, которая образует прямой угол с гипотенузой).

2. Углы $\angle DAC$ и $\angle DBC$ — равны, поскольку они являются углами при пересечении прямых $AC$ и $BC$ с высотой $CD$, то есть это вертикальные углы.

Таким образом, два угла треугольников $ACD$ и $CBD$ равны, а значит, треугольники подобны по углам (по признаку подобия прямоугольных треугольников).

Шаг 2: Применим свойство подобия треугольников

Если треугольники подобны, то стороны этих треугольников пропорциональны. Рассмотрим пропорции для сторон:

• Сторона $AD$ относится к стороне $CD$ так же, как сторона $CD$ относится к стороне $BD$. То есть:

Подставим известные значения $AD = 16$ см и $BD = 9$ см:

Шаг 3: Решим уравнение

Теперь решим это уравнение для $CD$.

1. Умножим обе части уравнения на $CD$ и на 9, чтобы избавиться от дробей:

2. Получим:

3. Извлечем квадратный корень из обеих сторон:

Ответ:

Высота $CD$ равна 12 см.

Подытожим:

Мы доказали, что треугольники $ACD$ и $CBD$ подобны, и нашли высоту $CD$, которая равна 12 см.