Дан прямоугольный треугольник ABC. Угол C=90 градусов, угол A=2B. AB-AC=15. Найти длину отрезка AC.

Для решения задачи будем использовать свойства прямоугольного треугольника и данные условия.

Итак, у нас есть прямоугольный треугольник ABC, где угол C = 90°, угол A = 2B, и AB - AC = 15.

1. Обозначения и углы:

   • Угол C = 90°, это угол прямой.

   • Угол A = 2B, то есть угол A в два раза больше угла B.

   • Так как сумма углов в треугольнике всегда равна 180°, мы можем выразить углы A и B через переменную:

     $$\text{Угол A} + \text{Угол B} + 90^\circ = 180^\circ$$

     Получаем:

     $$2B + B + 90^\circ = 180^\circ$$ $$3B = 90^\circ$$ $$B = 30^\circ$$

     Следовательно, угол A = 2B = 60°.

2. Составление уравнений для сторон:
   Мы знаем, что:

   • AB — гипотенуза,

   • AC и BC — катеты.

   В треугольнике с углами 30° и 60° стороны катетов имеют известное соотношение. В частности, для прямоугольного треугольника с углами 30° и 60°:

   • Сторона, противоположная углу 30° (в данном случае AC), равна половине гипотенузы.

   • Сторона, противоположная углу 60° (в данном случае BC), равна гипотенузе, умноженной на √3/2.

   Пусть длина гипотенузы AB = x. Тогда:

   • AC = x/2,

   • BC = x√3/2.

3. Использование условия AB - AC = 15:
   Из условия задачи, AB - AC = 15, подставим сюда выражение для AB и AC:

   $$x - \frac{x}{2} = 15$$

   Упростим уравнение:

   $$\frac{x}{2} = 15$$ $$x = 30$$

   Теперь мы знаем, что длина гипотенузы AB = 30.

4. Нахождение длины AC:
   Так как AC = x/2, то:

   $$AC = \frac{30}{2} = 15$$

Ответ: длина отрезка AC равна 15.