Дан треугольник АВС и точка М, не принадлежащая плоскости треугольника причем МВ перпендикулярна ВС, МВ перпендикулярна ВА. 1)Докажите, что треугольник МВД прямоугольный, если Д-произвольная точка отрезка АС. 2) Найдите МД и площадь треугольника МВД,если МВ=ВД=а

Рассмотрим задачу пошагово.

Условие:

1. Дан треугольник $ABC$ и точка $M$, которая находится вне плоскости треугольника.
2. Известно, что $MB \perp BC$ и $MB \perp BA$.
3. Пусть $D$ — произвольная точка отрезка $AC$.

Требуется:

1. Доказать, что треугольник $MBD$ — прямоугольный.
2. Найти длину $MD$ и площадь треугольника $MBD$, если $MB = BD = a$.

Решение:

Шаг 1: Доказательство, что треугольник $MBD$ — прямоугольный

1. Из условия следует, что $MB$ перпендикулярна обеим сторонам $BC$ и $BA$ треугольника $ABC$.
2. Так как $MB$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $BC$ и $BA$, то $MB$ перпендикулярна всей плоскости треугольника $ABC$.
3. Точка $D$ находится на отрезке $AC$, а значит, лежит в плоскости треугольника $ABC$.
4. Поскольку $MB$ перпендикулярна плоскости $ABC$, то она перпендикулярна любой прямой в этой плоскости, проходящей через точку $B$. Следовательно, $MB \perp BD$.
5. Таким образом, треугольник $MBD$ имеет угол $\angle MBD = 90^\circ$, что и доказывает его прямоугольность.

Шаг 2: Найдём длину $MD$ и площадь треугольника $MBD$

Теперь используем заданные значения $MB = BD = a$ и применим теорему Пифагора в прямоугольном треугольнике $MBD$.

1. Рассмотрим треугольник $MBD$, в котором:

   • $MB = a$
   • $BD = a$
   • Угол $\angle MBD = 90^\circ$

2. Применим теорему Пифагора к треугольнику $MBD$ для нахождения $MD$:

   $$MD = \sqrt{MB^2 + BD^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$$

3. Найдём площадь треугольника $MBD$:

   • В прямоугольном треугольнике площадь равна половине произведения катетов.
   $$S_{MBD} = \frac{1}{2} \cdot MB \cdot BD = \frac{1}{2} \cdot a \cdot a = \frac{a^2}{2}$$

Ответ:

1. Треугольник $MBD$ действительно является прямоугольным.
2. Длина $MD = a\sqrt{2}$.
3. Площадь треугольника $MBD = \frac{a^2}{2}$.