Как узнать площадь параллелограмма?

Коротко: площадь параллелограмма можно посчитать разными способами — выбирайте тот, под какие данные у вас есть.

1. Через основание и высоту
   S = a · hₐ,
   где a — длина любой стороны, hₐ — высота к этой стороне (перпендикуляр на противоположную сторону).

2. Через две стороны и угол между ними
   S = a · b · sin(γ),
   где a и b — соседние стороны, γ — угол между ними.

3. Через диагонали и угол между ними
   S = ½ · d₁ · d₂ · sin(φ),
   где d₁ и d₂ — диагонали, φ — угол между диагоналями.

4. Через векторы сторон
   Если соседние стороны заданы векторами u = (u₁, u₂, u₃) и v = (v₁, v₂, v₃),
   S = |u × v|.
   В плоскости (2D) для u = (x₁, y₁) и v = (x₂, y₂):
   S = |x₁y₂ − x₂y₁|.

5. Через координаты вершин (удобная «шнурковая» формула)
   Для вершин A(x₁,y₁), B(x₂,y₂), C(x₃,y₃), D(x₄,y₄) по порядку обхода:
   S = ½ · |x₁y₂ + x₂y₃ + x₃y₄ + x₄y₁ − (y₁x₂ + y₂x₃ + y₃x₄ + y₄x₁)|.

Удобный вариант для параллелограмма, если известны три точки A, B, D (B и D — соседние с A):
S = |(x_B − x_A)(y_D − y_A) − (x_D − x_A)(y_B − y_A)|.

6. Через скалярное произведение (когда известны длины сторон и их скалярное произведение)
   Если |u| = a, |v| = b и u·v = ab cos(γ), то
   S = √(a²b² − ( u·v )²) = a b |sin(γ)|.

Примеры
• Стороны 7 см и 10 см, угол 40°:
S = 7·10·sin40° ≈ 70·0,6428 ≈ 45,0 см².

• Соседние стороны как векторы (3, 2) и (–1, 5):
S = |3·5 − 2·(−1)| = |15 + 2| = 17 (кв. единиц).

• Основание 12 м и высота к нему 4,5 м:
S = 12·4,5 = 54 м².

Замечания
— Единицы согласуйте (все в метрах, сантиметрах и т.п.).
— Высота всегда перпендикулярна основанию; если известен тупой угол, sin(угла) всё равно положителен через |sin|, площадь не бывает отрицательной.