Конус пересечён плоскостью, которая перпендикулярна высоте конуса и делит её на отрезки в отношении 1: 3, считая от вершины. Площадь сечения равна 7π.
Вычисли площадь основания конуса

Для решения этой задачи важно понять, как форма сечения конуса связана с его размерами. Если плоскость пересекает конус перпендикулярно его высоте, то сечение будет кругом. Размер этого круга зависит от того, на какой высоте было сделано сечение.

Дано, что высота делится на два отрезка в отношении 1:3, считая от вершины. Это значит, что если обозначить меньший отрезок как $h$, то больший будет $3h$, а полная высота конуса $H = 4h$.

Площадь сечения равна $7\pi$. Площадь круга вычисляется по формуле $A = \pi r^2$, где $r$ - радиус круга. Значит, радиус круга сечения $r$ можно найти из уравнения: $7\pi = \pi r^2$ $r^2 = 7$ $r = \sqrt{7}$

Теперь нужно понять, как связаны радиусы основания конуса и его сечения. Для этого рассмотрим подобие треугольников.

Рассмотрим треугольник, образованный радиусом основания конуса, его высотой и образующей (наклонной линией от вершины к основанию). Сечение создаёт меньший треугольник с такими же углами, где катеты - это радиус сечения и меньший отрезок высоты $h$.

Пусть $R$ - радиус основания конуса. Тогда, используя подобие треугольников, получим: $\frac{R}{4h} = \frac{\sqrt{7}}{h}$ $R = 4\sqrt{7}$

Теперь мы можем вычислить площадь основания конуса, которая также является площадью круга: $A_{\text{осн}} = \pi R^2 = \pi (4\sqrt{7})^2 = 16\pi \cdot 7 = 112\pi$

Таким образом, площадь основания конуса равна $112\pi$ квадратных единиц.