Докажите, что середины сторон произвольного четырёхугольника являются вершинами параллелограмма.

Для доказательства того, что середины сторон произвольного четырёхугольника являются вершинами параллелограмма, рассмотрим произвольный четырёхугольник $ABCD$, где точки $M$, $N$, $P$ и $Q$ — это середины сторон $AB$, $BC$, $CD$ и $DA$ соответственно.

Шаг 1: Построение вектора

Обозначим координаты вершин четырёхугольника как:

• $A(x_1, y_1)$,

• $B(x_2, y_2)$,

• $C(x_3, y_3)$,

• $D(x_4, y_4)$.

Сначала найдём координаты середин сторон:

• Середина стороны $AB$: $M\left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right)$,

• Середина стороны $BC$: $N\left( \frac{x_2 + x_3}{2}, \frac{y_2 + y_3}{2} \right)$,

• Середина стороны $CD$: $P\left( \frac{x_3 + x_4}{2}, \frac{y_3 + y_4}{2} \right)$,

• Середина стороны $DA$: $Q\left( \frac{x_4 + x_1}{2}, \frac{y_4 + y_1}{2} \right)$.

Шаг 2: Векторные обозначения

Теперь рассмотрим векторы, соединяющие точки середин противоположных сторон:

• Вектор $\overrightarrow{MN}$ (от $M$ к $N$):
  $\overrightarrow{MN} = \left( \frac{x_2 + x_3}{2} - \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_2 + y_3}{2} - \frac{y_1 + y_2}{2} \right)$
  $= \left( \frac{x_3 - x_1}{2}, \frac{y_3 - y_1}{2} \right)$.

• Вектор $\overrightarrow{QP}$ (от $Q$ к $P$):
  $\overrightarrow{QP} = \left( \frac{x_3 + x_4}{2} - \frac{x_4 + x_1}{2}, \frac{y_3 + y_4}{2} - \frac{y_4 + y_1}{2} \right)$