докажите, что средняя линия треугольника делит его на треугольник и трапецию, площади которых относятся как 1:3

Рассмотрим треугольник $ABC$. Пусть $M$ — середина стороны $AB$, $N$ — середина стороны $AC$. Тогда отрезок $MN$ — средняя линия треугольника: он параллелен основанию $BC$ и равен его половине, то есть $MN \parallel BC$ и $MN=\tfrac12\,BC$.

Отрезок $MN$ делит исходный треугольник на:

• малый треугольник $AMN$,

• трапецию $M NBC$.

Докажем, что их площади относятся как $1:3$.

1. Подобие и коэффициент.
   Так как $MN\parallel BC$, углы при вершине $A$ общие, а углы при $M$ и $N$ равны соответствующим углам при $B$ и $C$, треугольники $AMN$ и $ABC$ подобны. Отрезки $AM$ и $AB$, $AN$ и $AC$ относятся как $1:2$ (потому что $M$ и $N$ — середины), значит коэффициент подобия $k=\tfrac12$.

2. Отношение площадей.
   Площадь подобных треугольников относится как квадрат коэффициента подобия:

То есть $S_{AMN}=\tfrac14\,S_{ABC}$.

3. Площадь трапеции.
   Площадь трапеции $MNBC$ — это разность площадей:

4. Итоговое отношение.

Тем самым средняя линия делит треугольник на треугольник и трапецию, площади которых относятся как $1:3$.