На стороне АС треугольника АВС отмечены точки D и Е так, что AD=CE. Докажите, что если AB=BC, то BD=BE.

Для доказательства того, что если $AB = BC$, то $BD = BE$, при условии, что на стороне $AC$ треугольника $ABC$ отмечены точки $D$ и $E$, такие что $AD = CE$, можем использовать геометрические соображения и свойства треугольников.

1. Рассмотрим треугольник $ABC$, где $AB = BC$.

Это означает, что треугольник $ABC$ является равнобедренным с основанием $AC$. Следовательно, углы $\angle ABD$ и $\angle CBE$ равны (углы при основании равнобедренного треугольника).

2. Рассмотрим точки $D$ и $E$ на стороне $AC$, такие что $AD = CE$.

Это условие даст нам равенство отрезков на одной стороне треугольника.

3. Используем свойство равнобедренного треугольника.

В равнобедренном треугольнике $ABC$ углы при основании равны, т.е. $\angle ABD = \angle CBE$. Поскольку $AD = CE$, то треугольники $ABD$ и $CBE$ являются равными по второму признаку равенства треугольников (сторона-угол-сторона, или СУС).

4. Заключение.

Так как треугольники $ABD$ и $CBE$ равны, то соответствующие стороны этих треугольников также равны. А именно, $BD = BE$.

Таким образом, доказано, что $BD = BE$.