Найти наибольшее и наименьшее значения функции \( f(x) = x^4 - 8x^2 \) на отрезке \([-1; 3]\).

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $f(x) = x^4 - 8x^2$ на отрезке $[-1; 3]$, нужно выполнить несколько шагов.

1. Найдем производную функции. Для этого применим правило дифференцирования.

   $f(x) = x^4 - 8x^2$

   Производная функции:

   $$f'(x) = 4x^3 - 16x$$

2. Найдем критические точки, при которых производная равна нулю:

   $$f'(x) = 4x^3 - 16x = 0$$

   Вынесем общий множитель:

   $$4x(x^2 - 4) = 0$$

   Это уравнение можно решить как:

   $$x = 0 \quad \text{или} \quad x^2 - 4 = 0$$

   Решение второго уравнения:

   $$x^2 = 4 \quad \Rightarrow \quad x = \pm 2$$

   Таким образом, критические точки: $x = 0, -2, 2$.

3. Проверим, находятся ли эти критические точки на отрезке $[-1; 3]$. Из полученных значений $-2$ выходит за пределы отрезка, поэтому его игнорируем. Оставшиеся критические точки — это $x = 0$ и $x = 2$.

4. Вычислим значения функции на концах отрезка и в критических точках.

   • $f(-1) = (-1)^4 - 8(-1)^2 = 1 - 8 = -7$

   • $f(3) = 3^4 - 8(3)^2 = 81 - 72 = 9$

   • $f(0) = 0^4 - 8(0)^2 = 0$

   • $f(2) = 2^4 - 8(2)^2 = 16 - 32 = -16$

5. Сравниваем все полученные значения:

   • $f(-1) = -7$

   • $f(3) = 9$

   • $f(0) = 0$

   • $f(2) = -16$

   Наибольшее значение функции на отрезке $[-1; 3]$ — это $f(3) = 9$, а наименьшее — это $f(2) = -16$.

Ответ: наибольшее значение функции на отрезке $[-1; 3]$ равно 9, а наименьшее — $-16$.