Боковое ребро правильной прямой призмы равно 9, а диагональ боковой грани равна 15. Найти боковую и полную поверхность.

Раз это прямая правильная призма, диагональ боковой грани — диагональ прямоугольника со сторонами $h$ (высота, она же боковое ребро) и $a$ (сторона правильного основания).
Дано: $h=9$, диагональ $d=15$. Тогда

Далее:

• Площадь боковой поверхности $S_{\text{бок}}=P\cdot h$, где $P$ — периметр основания. Для правильного $n$-угольника $P=na$, значит

  $$S_{\text{бок}}=n\cdot a\cdot h=n\cdot 12\cdot 9=108n.$$

• Площадь одного основания правильного $n$-угольника через сторону $a$:

  $$S_{\text{осн}}=\frac{n a^2}{4\tan\!\left(\frac{\pi}{n}\right)} =\frac{n\cdot 144}{4\tan\!\left(\frac{\pi}{n}\right)} =\frac{36n}{\tan\!\left(\frac{\pi}{n}\right)}.$$

  Тогда полная поверхность

  $$S_{\text{полн}}=S_{\text{бок}}+2S_{\text{осн}} =108n+ \frac{72n}{\tan\!\left(\frac{\pi}{n}\right)} =108n+72n\cot\!\left(\frac{\pi}{n}\right).$$

Если в задаче имелась в виду наиболее частая ситуация — правильная треугольная призма ($n=3$), то получаем конкретные числа: