Четырехугольник ABCD задан координатами своих вершин A(-1,1) B(3,3) C(2,-2) D(-2,-1). Найдите синус угла между его диагоналями.

Чтобы найти синус угла между диагоналями четырехугольника $ABCD$, заданного координатами вершин $A(-1, 1)$, $B(3, 3)$, $C(2, -2)$, и $D(-2, -1)$, сначала найдем уравнения диагоналей $AC$ и $BD$, а затем определим угол между ними.

Шаг 1. Найдём уравнения диагоналей

1. Диагональ $AC$:

   • Координаты $A$: $(-1, 1)$
   • Координаты $C$: $(2, -2)$

   Вектор $\overrightarrow{AC} = (2 - (-1), -2 - 1) = (3, -3)$.

2. Диагональ $BD$:

   • Координаты $B$: $(3, 3)$
   • Координаты $D$: $(-2, -1)$

   Вектор $\overrightarrow{BD} = (-2 - 3, -1 - 3) = (-5, -4)$.

Шаг 2. Найдём косинус угла между диагоналями

Пусть угол между векторами $\overrightarrow{AC}$ и $\overrightarrow{BD}$ обозначен как $\theta$. Косинус угла $\theta$ можно найти по формуле скалярного произведения:

1. Скалярное произведение $\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BD}$:

   $$\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BD} = (3)(-5) + (-3)(-4) = -15 + 12 = -3$$

2. Длина вектора $\overrightarrow{AC}$:

   $$|\overrightarrow{AC}| = \sqrt{3^2 + (-3)^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$$

3. Длина вектора $\overrightarrow{BD}$:

   $$|\overrightarrow{BD}| = \sqrt{(-5)^2 + (-4)^2} = \sqrt{25 + 16} = \sqrt{41}$$

4. Найдём $\cos \theta$:

   $$\cos \theta = \frac{-3}{3\sqrt{2} \cdot \sqrt{41}} = \frac{-3}{3\sqrt{82}} = -\frac{1}{\sqrt{82}}$$