Высота конуса равна 20, радиус его основания — 25. Найти площадь сечения, проведённого через вершину, если расстояние от центра основания конуса до плоскости сечения равно 12.

Решение.

Пусть высота конуса $h=20$, радиус основания $R=25$. Плоскость сечения проходит через вершину $O$ и пересекает плоскость основания по прямой $\ell$, которая отстоит от центра основания $C$ на расстояние $s$ в плоскости основания. Тогда сечение конуса — равнобедренный треугольник $OAB$, где $AB$ — хорда окружности основания, $OA=OB=l$ — образующая конуса, $l=\sqrt{h^2+R^2}=\sqrt{1025}$.

Дано расстояние от точки $C$ до плоскости сечения: $d=12$. Запишем уравнение плоскости сечения в системе координат с $C=(0,0,0)$, $O=(0,0,h)$, а прямая $\ell$ — это $y=s$ при $z=0$. Тогда плоскость имеет вид

её нормаль $(0,1,\tfrac{s}{h})$. Расстояние от $C$ до этой плоскости равно

Отсюда

Длина хорды

Высота треугольника к основанию $AB$:

Тогда площадь сечения

Ответ: $500$.