В выпуклом многоугольнике 20 диагоналей. Найдите количество сторон и сумму углов.

Для того чтобы решить эту задачу, нужно вспомнить несколько ключевых формул, связанных с многоугольниками и их диагоналями.

1. Количество диагоналей в многоугольнике:
   Формула для вычисления количества диагоналей $D$ в многоугольнике с $n$ сторонами:

   $$D = \frac{n(n-3)}{2}$$

   где $n$ — это количество сторон многоугольника.

   В задаче нам говорят, что диагоналей 20. Подставим это значение в формулу и решим относительно $n$:

   $$20 = \frac{n(n-3)}{2}$$

   Умножим обе части на 2:

   $$40 = n(n-3)$$

   Раскроем скобки:

   $$40 = n^2 - 3n$$

   Приведем уравнение к стандартному виду:

   $$n^2 - 3n - 40 = 0$$

   Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

   $$D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-40) = 9 + 160 = 169$$

   Извлекаем квадратный корень:

   $$\sqrt{169} = 13$$

   Тогда корни уравнения:

   $$n = \frac{-(-3) \pm 13}{2} = \frac{3 \pm 13}{2}$$

   Получаем два возможных значения:

   $$n = \frac{3 + 13}{2} = 8 \quad \text{или} \quad n = \frac{3 - 13}{2} = -5$$

   Отрицательное значение не может быть числом сторон, значит, $n = 8$. Таким образом, многоугольник имеет 8 сторон.

2. Сумма углов многоугольника:
   Сумма внутренних углов выпуклого многоугольника с $n$ сторонами вычисляется по формуле:

   $$S = 180^\circ \times (n - 2)$$

   Подставляем $n = 8$:

   $$S = 180^\circ \times (8 - 2) = 180^\circ \times 6 = 1080^\circ$$

Ответ: Многоугольник имеет 8 сторон, а сумма его углов равна 1080°.