Осевым сечением конуса является прямоугольный треугольник площадью 18. Найди объём конуса. Затем поделите полученный ответ на пи корень из двух.

Для решения задачи нужно сначала найти объём конуса, используя данные о его осевом сечении.

1. Площадь осевого сечения:
   Осевым сечением конуса является прямоугольный треугольник. Площадь этого треугольника равна 18, а её формула выглядит так:

   $$S = \frac{1}{2} \cdot h \cdot r$$

   где:

   • $h$ — высота конуса,

   • $r$ — радиус основания конуса.

   Подставляем известное значение площади:

   $$18 = \frac{1}{2} \cdot h \cdot r$$

   Умножим обе части на 2:

   $$36 = h \cdot r$$

2. Объём конуса:
   Формула для объёма конуса:

   $$V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$$

   Нам нужно выразить объём через $h$ и $r$. Из уравнения $h \cdot r = 36$ выразим $h$:

   $$h = \frac{36}{r}$$

   Подставим это в формулу для объёма:

   $$V = \frac{1}{3} \pi r^2 \cdot \frac{36}{r}$$

   Упростим:

   $$V = \frac{1}{3} \pi r \cdot 36 = 12 \pi r$$

   Таким образом, объём конуса равен $12 \pi r$.

3. Нахождение объёма после деления на $\pi \sqrt{2}$:
   Мы должны разделить объём на $\pi \sqrt{2}$:

   $$\frac{V}{\pi \sqrt{2}} = \frac{12 \pi r}{\pi \sqrt{2}} = \frac{12r}{\sqrt{2}}$$

   Упростим:

   $$\frac{12r}{\sqrt{2}} = 6\sqrt{2}r$$

Ответ: $\boxed{6\sqrt{2}r}$.