Объем конуса равен 27. Через точку, делящую высоту конуса в отношении 1:2, считая от вершины, проведена плоскость, параллельная основанию. Найдите объем конуса, отсекаемого от данного конуса проведенной плоскостью.

Для решения задачи нужно использовать свойства геометрических фигур, а также понятие подобия тел. Рассмотрим шаги решения:

1. Исходные данные:

   • Объем исходного конуса $V = 27$.
   • Плоскость проходит через точку, делящую высоту конуса в отношении 1:2, считая от вершины.
   • Плоскость параллельна основанию конуса.

2. Применение свойств подобных тел: Плоскость, параллельная основанию, отсекает от конуса меньший конус, который подобен исходному. Подобие тел в геометрии означает, что все линейные размеры меньшего конуса пропорциональны линейным размерам исходного конуса. В частности, высоты, радиусы оснований и другие линейные размеры соотносятся по одному и тому же коэффициенту.

3. Параметры отсекаемого конуса: Пусть высота исходного конуса равна $h$. Плоскость делит высоту в отношении 1:2, то есть от вершины до плоскости расстояние будет $\frac{h}{3}$, а от плоскости до основания — $\frac{2h}{3}$. Это означает, что меньший конус, отсекаемый плоскостью, имеет высоту $\frac{h}{3}$.

4. Пропорциональность объемов: Объем конуса пропорционален кубу его линейных размеров (в данном случае — высоты). Так как высота меньшего конуса составляет $\frac{1}{3}$ высоты исходного, объем меньшего конуса будет пропорционален кубу этой величины:

   $$V_{\text{меньшего}} = V_{\text{исходного}} \times \left( \frac{1}{3} \right)^3 = V_{\text{исходного}} \times \frac{1}{27}.$$

   То есть объем меньшего конуса составляет $\frac{1}{27}$ от объема исходного конуса. Поскольку объем исходного конуса равен 27, объем меньшего конуса:

   $$V_{\text{меньшего}} = 27 \times \frac{1}{27} = 1.$$

5. Ответ: Объем конуса, отсекаемого плоскостью, равен 1.

Таким образом, объем отсекаемого конуса составляет 1.