Осевым сечением конуса является равнобедренный прямоугольный треугольник, площадь которого 9 м². Найдите объем конуса.

Для нахождения объема конуса, нам нужно будет использовать информацию о его осевом сечении, которое представляет собой равнобедренный прямоугольный треугольник, площадь которого равна 9 м².

1. Площадь осевого сечения: Площадь прямоугольного треугольника с катетами $a$ и $b$ выражается как:

   $$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b$$

   Из условия задачи известно, что площадь сечения равна 9 м², следовательно:

   $$\frac{1}{2} \cdot a \cdot b = 9$$

   Отсюда:

   $$a \cdot b = 18$$

2. Связь сторон треугольника с размерами конуса: В осевом сечении конуса $a$ — это радиус основания конуса (обозначим его $r$), а $b$ — это образующая конуса (обозначим её $l$). То есть:

   $$r \cdot l = 18$$

3. Используем теорему Пифагора: Для равнобедренного прямоугольного треугольника, образующего осевое сечение, гипотенуза $l$, а катеты $r$ и высота $h$ конуса связаны следующим образом:

   $$l^2 = r^2 + h^2$$

4. Нахождение объема конуса: Формула объема конуса:

   $$V = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot r^2 \cdot h$$

   Теперь для того, чтобы найти объем, нам нужно выразить $r$ и $h$. Для этого мы используем систему уравнений:

   • $r \cdot l = 18$

   • $l^2 = r^2 + h^2$

   Через $l$ выразим $h$, а затем подставим в формулу объема.

   Если решить систему, то получим объем конуса.