На сторонах угла BAC, равного 20°, и на его биссектрисе отложены равные отрезки AB, AC и AD. Определите величину угла BDC.

Давайте решим задачу поэтапно.

1. У нас есть угол $\angle BAC = 20^\circ$.

2. На сторонах угла $AB$, $AC$ и на его биссектрисе $AD$ отложены равные отрезки. То есть, отрезки $AB = AC = AD$.

3. Из-за того, что $AB = AC$, треугольник $ABC$ является равнобедренным, и $\angle ABC = \angle ACB$.

Теперь перейдем к решению:

• Так как $AB = AC$, угол $\angle ABC = \angle ACB$. Пусть этот угол равен $x$. Тогда угол $\angle BAC = 20^\circ$ можно записать как:

  $$\angle ABC + \angle ACB + \angle BAC = 180^\circ.$$

  Подставим $\angle BAC = 20^\circ$ и $\angle ABC = \angle ACB = x$, получим:

  $$2x + 20^\circ = 180^\circ.$$

  Решаем это уравнение:

  $$2x = 180^\circ - 20^\circ = 160^\circ, \quad x = \frac{160^\circ}{2} = 80^\circ.$$

  Таким образом, $\angle ABC = \angle ACB = 80^\circ$.

4. Теперь рассмотрим угол $\angle BDC$. Он образуется на биссектрисе угла $\angle BAC$, и $AD$ является биссектрисой, разделяющей угол $\angle BAC$ пополам. То есть, угол $\angle BAD = \angle CAD = \frac{20^\circ}{2} = 10^\circ$.

5. Важно заметить, что угол $\angle BDC$ — это внешний угол для треугольника $ABD$ и $ACD$. Этот угол равен сумме внутренних несмежных углов:

Мы знаем, что $\angle ABD = 80^\circ$ и $\angle ACD = 80^\circ$, так как $AB = AC$, и углы $\angle ABC$ и $\angle ACB$ равны.

6. Сложим эти углы:

Таким образом, величина угла $\angle BDC$ равна $160^\circ$.