В равнобедренном треугольнике высоты, проведённые к боковым сторонам, равны h и образуют при пересечении острый угол α. Найдите стороны треугольника.

Для решения задачи будем использовать геометрические и алгебраические методы.

1. Обозначения: Пусть треугольник ABC — равнобедренный с вершиной A, а боковые стороны равны $a$. Пусть $h_1$ и $h_2$ — высоты, проведённые к боковым сторонам, и пересекаются под углом $\alpha$.

2. Составим систему уравнений: Из условия задачи, высоты $h_1$ и $h_2$ пересекаются под углом $\alpha$, а значит, они создают в треугольнике две прямые, которые образуют треугольник с длиной основания и боковыми сторонами.

3. Геометрия треугольника: Высоты делят равнобедренный треугольник на два меньших прямоугольных треугольника. Высоты проведены к боковым сторонам, то есть каждая из высот будет перпендикулярна боковой стороне.

4. Использование угла $\alpha$: Мы знаем, что угол $\alpha$ между высотами зависит от их пересечения, и используя формулы углов, можно выразить через стороны, применяя геометрические теоремы (например, теорему о пропорциональности отрезков или теорему о высоте).

Пошагово, для вычисления сторон, нужно будет применить дополнительные геометрические свойства, такие как связь между длинами сторон и углами, в том числе использование функции тангенса и синуса для пересекающихся высот.