Все рёбра правильной четырехугольной пирамиды равны \(8\sqrt{2}\). Найдите высоту пирамиды.

Для того чтобы найти высоту правильной четырехугольной пирамиды, нужно сначала разобраться с ее геометрическими свойствами. У нас есть правильная четырехугольная пирамида, у которой все рёбра равны $8\sqrt{2}$.

Шаг 1: Определим геометрические элементы пирамиды

В правильной четырехугольной пирамиде основание — это квадрат, а вершина пирамиды находится непосредственно над центром квадрата. Все рёбра пирамиды (рёбра, соединяющие вершину с вершинами основания) равны $8\sqrt{2}$. Площадь основания не имеет прямого отношения к поиску высоты, но важно знать, что для этой пирамиды все боковые рёбра одинаковые.

Шаг 2: Используем свойства правильной четырехугольной пирамиды

В правильной четырехугольной пирамиде высота, проведенная из вершины перпендикулярно основанию, пересекает центр основания. Таким образом, высота будет перпендикулярна квадрату основания.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, в котором:

• одна из катетов — это половина диагонали квадрата основания (половина диагонали квадрата, так как она является расстоянием от центра квадрата до одной из его вершин);

• второй катет — это высота пирамиды;

• гипотенуза — это боковое ребро пирамиды.

Шаг 3: Вычислим половину диагонали квадрата основания

Диагональ квадрата основания можно вычислить по формуле:

где $a$ — длина стороны квадрата основания.

Поскольку рёбра пирамиды $8\sqrt{2}$ соединяют вершину с вершинами квадрата, можно обозначить длину стороны квадрата как $a = 8$. Следовательно, диагональ квадрата будет равна:

Половина диагонали равна:

Шаг 4: Применим теорему Пифагора

Теперь у нас есть прямоугольный треугольник с катетами $4\sqrt{2}$ и высотой пирамиды, а гипотенуза равна боковому ребру пирамиды — $8\sqrt{2}$. Используем теорему Пифагора для нахождения высоты $h$:

Ответ:

Высота правильной четырехугольной пирамиды равна $4\sqrt{6}$.