Дан ромб ABCD, AC=6, BD=8. Найти: синус, косинус, тангенс угла ADB.

Дан ромб ABCD, в котором диагонали AC и BD пересекаются в точке O (середине), и их длины составляют AC = 6 и BD = 8.

1. Найдем длины половин диагоналей.
   Так как в ромбе диагонали делятся пополам, то:

   $$AO = \frac{AC}{2} = \frac{6}{2} = 3, \quad BO = \frac{BD}{2} = \frac{8}{2} = 4$$

   Таким образом, треугольник ADB имеет катеты AO = 3 и BO = 4.

2. Найдем сторону ромба.
   Так как в ромбе все стороны равны, то найдем длину стороны с помощью теоремы Пифагора в треугольнике AOB:

   $$AB^2 = AO^2 + BO^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$$ $$AB = \sqrt{25} = 5$$

   Таким образом, длина стороны ромба AB = 5.

3. Найдем синус, косинус и тангенс угла ADB.
   Теперь мы можем найти синус, косинус и тангенс угла ADB в треугольнике ADB. Угол ADB — это угол между сторонами ромба, то есть угол между векторами AD и BD. Используем значения сторон треугольника ADB (AB = 5, AO = 3, BO = 4).

   • Синус угла ADB:
     Синус угла ADB равен отношению противоположного катета (AO) к гипотенузе (AB):

     $$\sin(\angle ADB) = \frac{AO}{AB} = \frac{3}{5}$$

   • Косинус угла ADB:
     Косинус угла ADB равен отношению прилежащего катета (BO) к гипотенузе (AB):

     $$\cos(\angle ADB) = \frac{BO}{AB} = \frac{4}{5}$$

   • Тангенс угла ADB:
     Тангенс угла ADB равен отношению синуса к косинусу:

     $$\tan(\angle ADB) = \frac{\sin(\angle ADB)}{\cos(\angle ADB)} = \frac{\frac{3}{5}}{\frac{4}{5}} = \frac{3}{4}$$

Таким образом, синус угла ADB равен $\frac{3}{5}$, косинус — $\frac{4}{5}$, а тангенс — $\frac{3}{4}$.