Дан равнобедренный треугольник АВС с основанием АС, у которого АВ+ВС = 16 см , угол А = 67,5°. Найдите площадь треугольника АВС​

Давайте решим задачу по шагам:

Дан равнобедренный треугольник $\triangle ABC$ с основанием $AC$, у которого $AB = BC$ и сумма этих сторон равна $AB + BC = 16$ см. Из этого следует, что $AB = BC = 8$ см, так как стороны равнобедренного треугольника равны.

Также известен угол при вершине $A$, который составляет $67,5^\circ$. Необходимо найти площадь треугольника $ABC$.

Шаг 1: Разделение треугольника на два прямоугольных треугольника

Поскольку треугольник равнобедренный, высота, проведённая из вершины $B$ на основание $AC$, будет делить этот треугольник на два равных прямоугольных треугольника. Высота также делит основание $AC$ пополам, а угол при вершине $A$ делится на два угла по $67,5^\circ / 2 = 33,75^\circ$.

Шаг 2: Применение тригонометрии

Теперь рассмотрим один из этих прямоугольных треугольников, например, треугольник $ABH$, где $H$ — точка пересечения высоты с основанием $AC$. В этом треугольнике:

• $AB = 8$ см — это гипотенуза,
• угол $\angle AHB = 33,75^\circ$.

Используем косинус этого угла для нахождения половины основания $AC$ (то есть $AH$):

Подставляем $AB = 8$ см:

Таким образом, $AC = 2 \cdot AH = 2 \cdot 6,656 \approx 13,31$ см.

Шаг 3: Нахождение высоты

Теперь найдём высоту $BH$, используя синус угла $33,75^\circ$:

Подставляем $AB = 8$ см:

Шаг 4: Вычисление площади треугольника

Площадь треугольника $ABC$ можно найти по формуле:

Подставляем найденные значения:

Ответ:

Площадь треугольника $ABC$ приблизительно равна $29,54 \, \text{см}^2$.