Докажите, что в равных треугольниках соответственно равны: а) биссектрисы; б) высоты.

Рассмотрим два равных (сответственно равных) треугольника $\triangle ABC$ и $\triangle A'B'C'$. Под «равными» понимаем их наложимость: $AB=A'B',\; BC=B'C',\; CA=C'A'$ и соответствующие углы равны: $\angle A=\angle A',\; \angle B=\angle B',\; \angle C=\angle C'$.

a) Равенство соответствующих биссектрис

Пусть $AL$ — биссектриса угла $A$ в $\triangle ABC$ ($L\in BC$), а $A'L'$ — биссектриса угла $A'$ в $\triangle A'B'C'$ ($L'\in B'C'$).
Рассмотрим треугольники $\triangle ABL$ и $\triangle A'B'L'$. В них:

• $AB = A'B'$ (по равенству треугольников),

• $\angle ABL = \angle B$ и $\angle A'B'L' = \angle B'$, а $\angle B = \angle B'$,

• $\angle BAL = \frac{1}{2}\angle A$ и $\angle B'A'L' = \frac{1}{2}\angle A'$, а $\angle A = \angle A'$.

Таким образом, у треугольников $\triangle ABL$ и $\triangle A'B'L'$ совпадают две угловые величины и соответствующая сторона ($AB$), то есть они равны по признаку AAS (две угла и сторона). Следовательно, $AL = A'L'$. Аналогично доказывается равенство биссектрис при вершинах $B$ и $C$.

(Замечание: то же сразу следует и из формулы длины биссектрисы $l_a=\dfrac{2bc\cos(\alpha/2)}{b+c}$: при равенстве соответствующих сторон и углов длины соответствующих биссектрис совпадают.)

б) Равенство соответствующих высот

Пусть $AH\perp BC$ и $A'H'\perp B'C'$ — высоты из соответствующих вершин $A$ и $A'$. Рассмотрим треугольники $\triangle ABH$ и $\triangle A'B'H'$. В них:

• $AB=A'B'$ (по равенству треугольников),

• $\angle ABH = \angle B$ и $\angle A'B'H' = \angle B'$, а $\angle B=\angle B'$,

• $\angle AHB = \angle A'H'B' = 90^\circ$