Две окружности пересекаются в точках A и B. Доказать, что прямая, проходящая через их центры, перпендикулярна отрезку AB.

Чтобы доказать, что прямая, проходящая через центры двух окружностей, перпендикулярна отрезку AB, рассмотрим следующие шаги:

1. Пусть $O_1$ и $O_2$ — центры первой и второй окружности соответственно, а $A$ и $B$ — точки пересечения этих окружностей.

2. Проведем прямую $O_1O_2$, которая соединяет центры обеих окружностей. Эта прямая, по определению, проходит через точки $O_1$ и $O_2$.

3. Окружности имеют одинаковые радиусы для каждой из них. Пусть радиус первой окружности равен $r_1$, а второй — $r_2$. Так как $A$ и $B$ лежат на обеих окружностях, то отрезки $O_1A$, $O_1B$, $O_2A$ и $O_2B$ — это радиусы окружностей, которые равны соответственно $r_1$ и $r_2$.

4. Теперь, чтобы доказать перпендикулярность прямой $O_1O_2$ к отрезку $AB$, обратимся к свойству, которое называется теоремой о перпендикулярности прямой, соединяющей центры окружностей, к хорде их пересечения.

5. В геометрии существует теорема, утверждающая, что прямая, соединяющая центры двух окружностей, всегда перпендикулярна хорде, которая является отрезком, соединяющим точки их пересечения. В нашем случае отрезок $AB$ является такой хордой.

6. Таким образом, прямые $O_1O_2$ и $AB$ перпендикулярны, поскольку они выполняют условия этой теоремы.

В результате, мы доказали, что прямая, проходящая через центры двух окружностей, перпендикулярна отрезку $AB$, который соединяет их точки пересечения.