Основание прямой призмы — прямоугольный треугольник с гипотенузой 10 см и катетом 6 см. Больший катет треугольника в основании призмы равен диагонали меньшей из боковых граней. Найдите высоту призмы.

Дано основание прямой призмы — прямоугольный треугольник с гипотенузой 10 см и одним из катетов, равным 6 см. Требуется найти высоту призмы, если больший катет треугольника в основании равен диагонали меньшей из боковых граней.

1. Найдем второй катет прямоугольного треугольника в основании.

   По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника:

   $$a^2 + b^2 = c^2$$

   где $a$ и $b$ — катеты, а $c$ — гипотенуза.

   Известно, что гипотенуза $c = 10$ см и один из катетов $a = 6$ см. Подставим в формулу:

   $$6^2 + b^2 = 10^2$$ $$36 + b^2 = 100$$ $$b^2 = 100 - 36 = 64$$ $$b = 8 \, \text{см}.$$

   Таким образом, второй катет $b = 8$ см.

2. Определим диагональ меньшей из боковых граней.

   Боковые грани прямой призмы — это прямоугольные параллелепипеды, в которых одна сторона — это высота призмы, а две другие — стороны основания. У нас основание — прямоугольный треугольник с катетами 6 см и 8 см.

   Меньшая боковая грань будет иметь размеры 6 см и высоту $h$ призмы. Диагональ этой боковой грани можно найти по теореме Пифагора:

   $$d^2 = 6^2 + h^2$$ $$d^2 = 36 + h^2$$

3. Используем условие задачи, что больший катет (8 см) равен диагонали меньшей боковой грани.

   Из условия, больший катет основания равен диагонали меньшей боковой грани:

   $$8 = \sqrt{36 + h^2}$$

   Возведем обе части в квадрат:

   $$64 = 36 + h^2$$ $$h^2 = 64 - 36 = 28$$ $$h = \sqrt{28} = 2\sqrt{7} \, \text{см}.$$

Ответ: высота призмы $h = 2\sqrt{7}$ см.