Построить сечение куба плоскостью, проходящей через середины трёх рёбер, выходящих из одной вершины.

Для того чтобы построить сечение куба плоскостью, проходящей через середины трёх рёбер, выходящих из одной вершины, нужно понять несколько ключевых моментов.

1. Геометрия куба

Куб — это многогранник с 6 квадратными гранями, 12 рёбрами и 8 вершинами. Все рёбра куба равны между собой, а углы между соседними рёбрами — прямые.

2. Выбор вершины

Для начала нам нужно выбрать вершину куба, через которую будут проходить рёбра. Пусть эта вершина будет $A$.

3. Середины рёбер

Пусть рёбра, выходящие из вершины $A$, будут $AB$, $AC$ и $AD$. Эти рёбра соединяют вершину $A$ с соседними вершинами куба $B$, $C$ и $D$. Мы будем работать с плоскостью, которая проходит через середины этих рёбер, то есть точки $M_{AB}$, $M_{AC}$ и $M_{AD}$, где:

• $M_{AB}$ — середина ребра $AB$,

• $M_{AC}$ — середина ребра $AC$,

• $M_{AD}$ — середина ребра $AD$.

4. Расположение точек середины

Если принять, что координаты вершины $A$ равны $(0, 0, 0)$, то координаты точек середины рёбер будут следующие:

• $M_{AB} = \left( \frac{1}{2}, 0, 0 \right)$,

• $M_{AC} = \left( 0, \frac{1}{2}, 0 \right)$,

• $M_{AD} = \left( 0, 0, \frac{1}{2} \right)$.

5. Уравнение плоскости

Теперь необходимо найти уравнение плоскости, проходящей через эти три точки. Для этого нам нужно:

• Составить векторы, образующие плоскость. Это будут векторы $\overrightarrow{M_{AB}M_{AC}}$ и $\overrightarrow{M_{AB}M_{AD}}$.

  • $\overrightarrow{M_{AB}M_{AC}} = \left( 0, \frac{1}{2}, 0 \right) - \left( \frac{1}{2}, 0, 0 \right) = \left( -\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 0 \right)$,

  • $\overrightarrow{M_{AB}M_{AD}} = \left( 0, 0, \frac{1}{2} \right) - \left( \frac{1}{2}, 0, 0 \right) = \left( -\frac{1}{2}, 0, \frac{1}{2} \right)$.

• Теперь найдём векторное произведение этих двух векторов, чтобы получить нормаль к плоскости:

  \vec{n} = \overrightarrow{M_{AB}M_{AC}} \times \overrightarrow{M_{AB}M_{AD}} = \left| \begin{matrix}

\hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \
-\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \
-\frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2}
\end{matrix} \right|
= \hat{i} \left( \frac{1}{4} - 0 \right) - \hat{j} \left( \frac{1}{4} - 0 \right) + \hat{k} \left( 0 - \frac{1}{4} \right)
= \frac{1}{4} \hat{i} - \frac{1}{4} \hat{j} - \frac{1}{4} \hat{k}.
]
Таким образом, нормаль к плоскости имеет координаты $\vec{n} = \left( \frac{1}{4}, -\frac{1}{4}, -\frac{1}{4} \right)$.

6. Уравнение плоскости

Плоскость с нормалью $\left( \frac{1}{4}, -\frac{1}{4}, -\frac{1}{4} \right)$, проходящая через точку $M_{AB} = \left( \frac{1}{2}, 0, 0 \right)$, будет иметь уравнение вида: