Построить сечение параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 плоскостью проходящей середины рёбер AD и DC параллельно прямой BB1.

Для того чтобы построить сечение параллелепипеда плоскостью, которая проходит через середины рёбер AD и DC и параллельна прямой BB1, нужно выполнить несколько шагов.

1. Определение координат точек. Пусть параллелепипед ABCDA1B1C1D1 расположен в пространстве таким образом, что его вершины имеют следующие координаты:

   • A(0, 0, 0),
   • B(a, 0, 0),
   • C(a, b, 0),
   • D(0, b, 0),
   • A1(0, 0, c),
   • B1(a, 0, c),
   • C1(a, b, c),
   • D1(0, b, c).

2. Находим середины рёбер AD и DC. Точки середины рёбер находятся следующим образом:

   • Середина рёбер AD — это точка M1, которая делит отрезок AD пополам. Для рёбер AD координаты точки M1 будут (0, b/2, 0).
   • Середина рёбер DC — это точка M2, которая делит отрезок DC пополам. Для рёбер DC координаты точки M2 будут (a/2, b, 0).

3. Определяем прямую BB1. Прямая BB1 соединяет точки B(a, 0, 0) и B1(a, 0, c). Параметрическое уравнение прямой BB1 будет следующим:

   $$\vec{r}(t) = (a, 0, 0) + t(0, 0, c) = (a, 0, tc), \quad t \in [0, 1].$$

   Таким образом, прямая BB1 параллельна оси z и лежит в плоскости xz.

4. Плоскость, проходящая через середины рёбер AD и DC и параллельная BB1. Плоскость, которая должна проходить через точки M1 и M2 и быть параллельной BB1, будет иметь нормаль, перпендикулярную прямой BB1. Поскольку прямая BB1 параллельна оси z, то нормаль плоскости должна лежать в плоскости xy.

   Вектор, определяющий направление этой плоскости, можно найти как вектор, соединяющий точки M1 и M2:

   $$\vec{v} = M2 - M1 = \left(a/2 - 0, b - b/2, 0 - 0\right) = (a/2, b/2, 0).$$

   Таким образом, плоскость будет иметь уравнение вида:

   $$\frac{x}{a/2} + \frac{y}{b/2} = 1,$$

   или проще:

   $$2x/a + 2y/b = 1.$$

5. Построение сечения. Сечение параллелепипеда этой плоскостью будет пересечением параллелепипеда с плоскостью, определённой уравнением 2x/a + 2y/b = 1. Это сечение будет многоугольником, который можно найти, определив, где эта плоскость пересекает рёбра параллелепипеда.

   Чтобы найти эти пересечения, нужно подставить уравнение плоскости в уравнения рёбер параллелепипеда и решить систему уравнений. Например, для рёбер AB и AD, где находятся возможные пересечения с плоскостью, можно подставить уравнение плоскости в параметрические уравнения рёбер и найти точку пересечения.

   Эти вычисления дадут нам вершины многоугольника, который является сечением параллелепипеда плоскостью, проходящей через середины рёбер AD и DC и параллельной прямой BB1.