Тема: перпендикуляр и наклонная. АВ перпендикулярно а, угол АСВ = 30 градусов, АС = 16, ВD = 6. Найдите AD.

Задача состоит в том, чтобы найти длину отрезка AD, если известны следующие данные:

• АВ перпендикулярно прямой a.

• Угол ∠АСВ = 30 градусов.

• Длина отрезка АС = 16.

• Длина отрезка ВD = 6.

Для начала, заметим, что прямой АВ перпендикулярна прямой а, это значит, что угол ∠АВD равен 90 градусов.

1. Используем тригонометрию. В треугольнике АСВ, зная угол ∠АСВ = 30 градусов и сторону АС = 16, можно найти сторону ВС через синус угла:

   $$\sin(\angle ACB) = \frac{ВС}{АС}$$

   Подставим значения:

   $$\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}, \quad АС = 16.$$

   Таким образом, находим ВС:

   $$ВС = 16 \times \frac{1}{2} = 8.$$

2. Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник ВDА. Мы знаем, что угол ∠АВD = 90 градусов, а длина отрезка ВD = 6. В этом треугольнике можно использовать теорему Пифагора для нахождения длины гипотенузы AD. Теорема Пифагора гласит, что в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:

   $$AD^2 = AB^2 + BD^2.$$

3. Найдем длину AB. В треугольнике АСВ мы уже знаем длину ВС (8) и угол ∠АСВ (30 градусов). С помощью косинуса мы можем найти длину AB:

   $$\cos(30^\circ) = \frac{AB}{АС}.$$

   Подставляем известные значения:

   $$\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad АС = 16.$$

   Следовательно:

   $$AB = 16 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 8\sqrt{3}.$$

4. Теперь можно найти AD. Подставляем значения AB и BD в теорему Пифагора:

   $$AD^2 = (8\sqrt{3})^2 + 6^2 = 192 + 36 = 228.$$

   Таким образом:

   $$AD = \sqrt{228} = 2\sqrt{57}.$$

Ответ: длина отрезка AD равна $2\sqrt{57}$.