Точки А и В делят окружность с центром О на дуги АМВ и АСВ, тк что дуга АСВ на 60 градусов меньше дуги АМВ, АМ-диаметр окружности.
Найти углы АМВ АВМ АСВ

Рассмотрим задачу:

Дано:

• Окружность с центром $O$.
• Точки $A$ и $B$ делят окружность на две дуги: $\overset{\frown}{AMB}$ и $\overset{\frown}{ACB}$.
• Дуга $\overset{\frown}{ACB}$ на 60 градусов меньше дуги $\overset{\frown}{AMB}$.
• $AM$ — диаметр окружности.

Требуется найти углы $\angle AMB$, $\angle AVB$, $\angle ASB$.

Решение:

1. Сумма всех дуг окружности: Сумма всех дуг окружности равна $360^\circ$. Обозначим длину дуги $\overset{\frown}{AMB}$ за $x$. Тогда длина дуги $\overset{\frown}{ACB}$ будет равна $x - 60^\circ$.

   Из условия:

   $$x + (x - 60^\circ) = 360^\circ$$

   Решаем уравнение:

   $$2x - 60^\circ = 360^\circ$$ $$2x = 420^\circ \quad \Rightarrow \quad x = 210^\circ$$

   Таким образом:

   $$\overset{\frown}{AMB} = 210^\circ, \quad \overset{\frown}{ACB} = 210^\circ - 60^\circ = 150^\circ$$

2. Связь между центральным и вписанным углом: Центральный угол, опирающийся на дугу, равен длине этой дуги. Вписанный угол, опирающийся на ту же дугу, равен половине центрального угла. Используем это свойство.

3. Рассмотрим вписанные углы:

   • Угол $\angle AMB$: Угол $\angle AMB$ опирается на дугу $\overset{\frown}{ACB} = 150^\circ$. Следовательно:

     $$\angle AMB = \frac{\overset{\frown}{ACB}}{2} = \frac{150^\circ}{2} = 75^\circ$$

   • Угол $\angle ABM$: Угол $\angle ABM$ опирается на дугу $\overset{\frown}{AMB} = 210^\circ$. Следовательно:

     $$\angle ABM = \frac{\overset{\frown}{AMB}}{2} = \frac{210^\circ}{2} = 105^\circ$$

   • Угол $\angle ACB$: Поскольку угол $\angle ACB$ опирается на дугу $AMB$ с той же величиной дуги $150$, то его можно сделать прямой.