ДИАГОНАЛЬ ПРАВИЛЬНОЙ ЧЕТЫРЁХУГОЛЬНОЙ ПРИЗМЫ НАКЛОНЕНА К ПЛОСКОСТИ ОСНОВАНИЯ ПОД УГЛОМ 30°. БОКОВОЕ РЕБРО РАВНО 3. найти площадь основания

Для решения задачи начнем с определения параметров правильной четырёхугольной призмы. В этой призме основание является квадратом, а боковые ребра одинаковыми и перпендикулярны к плоскости основания. Нам дано, что диагональ правильной четырёхугольной призмы наклонена к плоскости основания под углом 30°, и длина бокового ребра равна 3.

1. Обозначим:

   • $a$ — длина стороны квадрата, который является основанием призмы.

   • $h = 3$ — длина бокового ребра.

   • $d$ — длина диагонали основания (квадрата).

   Диагональ квадрата $d$ может быть вычислена по формуле:

   $$d = a\sqrt{2}$$

2. Рассмотрим треугольник, образованный диагональю основания, боковым ребром и проекцией бокового ребра на плоскость основания. Так как диагональ наклонена под углом 30° к плоскости основания, угол между боковым ребром и проекцией диагонали на плоскость основания составляет 30°.

3. Площадь основания можно найти через теорему о проекциях:

   $$\sin(30^\circ) = \frac{\text{высота}}{h}$$

   где высота — это проекция бокового ребра на плоскость основания. Так как $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$, получаем:

   $$\frac{1}{2} = \frac{h_{\text{основания}}}{3}$$

   откуда $h_{\text{основания}} = 1.5$.

4. Площадь квадрата основания через side