Диагонали равнобокой трапеции перпендикулярны, её высота равна 12 см, а боковая сторона — 15 см. Найдите периметр трапеции.

Для того чтобы найти периметр трапеции, давайте разберемся с ее геометрическими свойствами.

У нас есть равнобокая трапеция, в которой диагонали перпендикулярны, высота равна 12 см, а боковая сторона — 15 см. Мы должны найти периметр этой трапеции.

1. Предположения и начальные данные:

   • Высота трапеции $h = 12$ см.

   • Боковая сторона трапеции $a = 15$ см.

   • Диагонали трапеции перпендикулярны.

2. Использование диагоналей:
   В равнобокой трапеции с перпендикулярными диагоналями можно воспользоваться тем, что эти диагонали образуют прямоугольный треугольник с основанием и высотой трапеции. Пусть основания трапеции будут $b_1$ и $b_2$, где $b_1$ — большее основание, а $b_2$ — меньшее.

3. Вычисление длины оснований:
   Чтобы найти длины оснований, используем теорему Пифагора для прямоугольного треугольника, который образуют боковая сторона, половина разности оснований и высота. По теореме Пифагора получаем:

   $$a^2 = \left(\frac{b_1 - b_2}{2}\right)^2 + h^2$$

   Подставим известные значения:

   $$15^2 = \left(\frac{b_1 - b_2}{2}\right)^2 + 12^2$$ $$225 = \left(\frac{b_1 - b_2}{2}\right)^2 + 144$$ $$\left(\frac{b_1 - b_2}{2}\right)^2 = 225 - 144 = 81$$ $$\frac{b_1 - b_2}{2} = \sqrt{81} = 9$$

   Таким образом, разница между основаниями равна $b_1 - b_2 = 18$.

4. Вычисление периметра:
   Периметр трапеции можно найти как сумму всех ее сторон:

   $$P = b_1 + b_2 + 2a$$

   Нам нужно найти $b_1$ и $b_2$, но для этого нужно еще одно уравнение, связанное с геометрией трапеции. В данном случае можно решить систему уравнений для $b_1$ и $b_2$ с использованием перпендикулярности диагоналей и других соотношений.