Вершины правильного треугольника лежат на сфере. найдите площадь сферы, если оо1=5 см, ав=10 см

Ответы на вопрос

Отвечает Лозин Иван.

Для решения задачи о площади сферы, на которой лежат вершины правильного треугольника, необходимо применить несколько геометрических понятий.

Условия задачи:

$ОО_1 = 5 \, \text{см}$ , где $О$ — это центр сферы, а $О_1$ — центр описанной окружности правильного треугольника.
$АВ = 10 \, \text{см}$ — сторона правильного треугольника.

Шаг 1: Радиус описанной окружности правильного треугольника

Правильный треугольник можно вписать в окружность. Радиус описанной окружности для правильного треугольника связан с длиной его стороны формулой:

R_{\text{треугольника}} = \frac{A}{\sqrt{3}}

Где $A$ — сторона треугольника. Подставляем $A = 10 \, \text{см}$ :

R_{\text{треугольника}} = \frac{10}{\sqrt{3}} \approx 5.77 \, \text{см}

Это радиус окружности, описанной вокруг треугольника.

Шаг 2: Радиус сферы

Центр сферы — точка $О$ , а центр описанной окружности правильного треугольника — точка $О_1$ . Нам известно, что расстояние $ОО_1 = 5 \, \text{см}$ , а радиус описанной окружности $R_{\text{треугольника}} = 5.77 \, \text{см}$ . Радиус сферы $R_{\text{сферы}}$ будет гипотенузой в прямоугольном треугольнике $ОО_1А$ , где $ОО_1$ — один катет, а $R_{\text{треугольника}}$ — другой катет. Тогда можем воспользоваться теоремой Пифагора:

R_{\text{сферы}} = \sqrt{OO_1^2 + R_{\text{треугольника}}^2}

Подставляем значения:

R_{\text{сферы}} = \sqrt{5^2 + 5.77^2} \approx \sqrt{25 + 33.31} \approx \sqrt{58.31} \approx 7.64 \, \text{см}

Шаг 3: Площадь сферы

Площадь поверхности сферы вычисляется по формуле:

S = 4\pi R_{\text{сферы}}^2

Подставляем найденное значение радиуса сферы:

S = 4\pi \times (7.64)^2 \approx 4\pi \times 58.38 \approx 733.04 \, \text{см}^2

Ответ:

Площадь поверхности сферы составляет примерно $733 \, \text{см}^2$ .