Площадь сечения шара плоскостью, проведенной через конец диаметра под углом 30° к нему, равна 75π см кв.. Найдите площадь боковой поверхности конуса.

Для решения задачи нам нужно использовать информацию о сечении шара плоскостью, которое имеет форму окружности. Плоскость проходит через конец диаметра шара под углом 30° к нему, и при этом площадь сечения окружности равна 75π см². Необходимо найти площадь боковой поверхности конуса, который можно построить на этом основании.

1. Площадь сечения шара: Плоскость, проходящая через шар, образует окружность, площадь которой можно выразить через радиус этой окружности:

   $$S_{\text{окр}} = \pi r_{\text{окр}}^2$$

   Согласно условию, площадь сечения составляет 75π см², значит:

   $$\pi r_{\text{окр}}^2 = 75\pi$$

   Отсюда радиус окружности сечения:

   $$r_{\text{окр}}^2 = 75$$ $$r_{\text{окр}} = \sqrt{75} = 5\sqrt{3} \, \text{см}.$$

2. Радиус шара: Чтобы найти радиус шара, воспользуемся информацией о том, что плоскость проходит под углом 30° к диаметру. При таком угле радиус сечения $r_{\text{окр}}$ связан с радиусом шара $R$ следующим образом:

   $$r_{\text{окр}} = R \cdot \sin(30^\circ)$$

   Так как $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$, имеем:

   $$5\sqrt{3} = \frac{R}{2}$$ $$R = 2 \cdot 5\sqrt{3} = 10\sqrt{3} \, \text{см}.$$

3. Конус: Основанием конуса является окружность с радиусом $r_{\text{окр}} = 5\sqrt{3}$. Высота конуса — это отрезок, соединяющий центр шара с вершиной конуса (концом диаметра шара). Так как высота равна радиусу шара $R = 10\sqrt{3}$, можем воспользоваться формулой для площади боковой поверхности конуса:

   $$S_{\text{бок}} = \pi r l$$

   где $r = 5\sqrt{3}$ — радиус основания, а $l$ — образующая конуса, которую можно найти по теореме Пифагора:

   $$l = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{(5\sqrt{3})^2 + (10\sqrt{3})^2} = \sqrt{75 + 300} = \sqrt{375} = 5\sqrt{15}.$$

4. Площадь боковой поверхности: Подставляем значения в формулу для площади боковой поверхности:

   $$S_{\text{бок}} = \pi \cdot 5\sqrt{3} \cdot 5\sqrt{15} = 25\pi \sqrt{45} = 25\pi \cdot 3\sqrt{5} = 75\pi \sqrt{5} \, \text{см}^2.$$

Таким образом, площадь боковой поверхности конуса равна $75\pi \sqrt{5} \, \text{см}^2$.