В прямоугольном треугольнике ABC проведена высота CH из вершины прямого угла. Из вершины B большего острого угла проведен отрезок BK так, что угол CBK равен углу CAB. Докажите, что CH делит BK пополам.

Для решения задачи рассмотрим прямоугольный треугольник ABC с прямым углом в вершине C. Пусть в этом треугольнике проведена высота CH из вершины C на гипотенузу AB. Также из вершины B большего острого угла (угол B больше угла A) проведен отрезок BK, так что угол CBK равен углу CAB. Нужно доказать, что высота CH делит отрезок BK пополам.

1. Обозначения и углы:

   Обозначим углы треугольника ABC как углы A, B и C. Из условия задачи известно, что угол C прямой (90°), а углы A и B — острые. Также нам сказано, что угол CBK равен углу CAB, то есть угол CBK = угол CAB. Эти углы равны, потому что они противоположные углы при параллельных прямых BC и BK.

2. Рассмотрим треугольник ABC:

   В прямоугольном треугольнике ABC высота CH делит гипотенузу AB на два отрезка. Мы можем доказать, что треугольники ACH и BCH являются подобными, так как угол ACB равен углу ACB (общий угол), и угол HCA равен углу HBC (углы при основании). Следовательно, треугольники ACH и BCH подобны.

3. Свойства треугольников и угол CBK:

   Так как угол CBK равен углу CAB, а также углы CBK и CAB противоположны при пересечении прямых BC и BK, то треугольники BCK и ABC также подобны. Это позволяет заключить, что BK делится на два равных отрезка через точку пересечения CH.

4. Доказательство:

   С учетом того, что треугольники BCK и ABC подобны, и угол CBK = угол CAB, получается, что CH, являясь высотой, не только пересекает отрезок BK, но и делит его пополам. Таким образом, CH является медианой в треугольнике BKC, и по свойствам медианы, она делит BK пополам.

Таким образом, доказано, что высота CH делит отрезок BK пополам.