Прямая, параллельная основанию треугольника, отсекает от него треугольник, площадь которого в 8 раз меньше площади оставшейся части. Периметр большего треугольника равен 27 см. Найти периметр меньшего треугольника.

Рассмотрим задачу, в которой прямая, параллельная основанию треугольника, отсекает от него меньший треугольник. Из условия известно, что площадь меньшего треугольника в 8 раз меньше площади оставшейся части.

Обозначим площадь большого треугольника через $S$, а площадь меньшего треугольника — через $S_1$. Площадь оставшейся части треугольника будет равна $S - S_1$. Из условия задачи имеем:

Площадь оставшейся части будет равна $S - S_1 = S - \frac{S}{8} = \frac{7S}{8}$.

Площадь треугольников пропорциональна квадрату их сторон (так как они подобны). Следовательно, отношение площади меньшего треугольника к площади большого:

где $a_1$ — сторона меньшего треугольника, а $a$ — сторона большого треугольника. Мы знаем, что $\frac{S_1}{S} = \frac{1}{9}$, поскольку площадь меньшего треугольника в 8 раз меньше оставшейся части, то есть отношение площади меньшего треугольника ко всей площади треугольника равно $\frac{1}{9}$. Это означает, что отношение сторон этих треугольников равно:

Периметр треугольников пропорционален их сторонам. Периметр большого треугольника $P = 27$ см. Периметр меньшего треугольника будет равен:

Таким образом, периметр меньшего треугольника равен 9 см.