Меньшая диагональ правильного шестиугольника равна c. Найдите сторону шестиугольника и его большую диагональ.

В правильном шестиугольнике все вершины лежат на одной окружности радиуса $R$. Длина хорды, соединяющей вершины через $k$ ребер, равна

Отсюда:

• сторона $a$ (соседние вершины, $k=1$): $a=2R\sin\frac{\pi}{6}=2R\cdot\frac12=R$;

• меньшая диагональ (через одну вершину, $k=2$): $d_{\min}=2R\sin\frac{2\pi}{6}=2R\sin\frac{\pi}{3}=2R\cdot\frac{\sqrt3}{2}=R\sqrt3=a\sqrt3$;

• большая диагональ (через три вершины, противоположные, $k=3$): $d_{\max}=2R\sin\frac{3\pi}{6}=2R\sin\frac{\pi}{2}=2R=2a$.

По условию $d_{\min}=c$, значит

Тогда

Ответ: сторона шестиугольника $a=\dfrac{c}{\sqrt3}$, большая диагональ $d_{\max}=\dfrac{2c}{\sqrt3}$.