Дан правильный шестиугольник, его меньшая диагональ равна a. Найдите сторону шестиугольника и его большую диагональ.

Рассмотрим правильный шестиугольник, в котором нам дана меньшая диагональ, равная $a$.

1. Меньшая диагональ шестиугольника — это отрезок, соединяющий две не соседние вершины, но не противоположные. Она пересекает одну из сторон шестиугольника. Эта диагональ равна $a$, и она составляет одну из диагонал правильного шестиугольника.

2. Сторона шестиугольника. В правильном шестиугольнике все стороны равны между собой, и каждая сторона является частью равностороннего треугольника. Обозначим длину стороны шестиугольника через $s$.

Чтобы найти сторону шестиугольника $s$, нужно использовать свойство того, что меньшая диагональ правильного шестиугольника делит его на два равных треугольника, а длина меньшей диагонали соотносится с длиной стороны шестиугольника. Можно выразить меньшую диагональ через сторону шестиугольника следующим образом:

Отсюда можно выразить сторону шестиугольника:

3. Большая диагональ шестиугольника — это отрезок, соединяющий противоположные вершины. В правильном шестиугольнике большая диагональ равна удвоенной стороне шестиугольника. То есть:

Теперь подставим найденное значение для $s$:

Таким образом, сторона шестиугольника равна $\frac{a}{\sqrt{3}}$, а большая диагональ равна $\frac{2a}{\sqrt{3}}$.