Радиус окружности, описанной около равнобедренного прямоугольного треугольника, равен 34. Найдите катет этого треугольника.

Для решения задачи воспользуемся свойствами прямоугольного треугольника и окружности, описанной около него.

1. Свойства окружности:
   Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен половине гипотенузы. Это связано с тем, что гипотенуза прямоугольного треугольника является диаметром описанной окружности.

2. Обозначения:
   Пусть $a$ — катет прямоугольного треугольника, $b$ — второй катет, $c$ — гипотенуза. Так как треугольник прямоугольный, то гипотенуза $c$ связана с катетами теоремой Пифагора:

   $$c^2 = a^2 + b^2.$$

3. Используем радиус окружности:
   Из условия задачи известно, что радиус окружности $R = 34$. Так как радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен половине гипотенузы, то:

   $$R = \frac{c}{2}.$$

   Следовательно, гипотенуза $c = 2R = 2 \times 34 = 68$.

4. Вычислим катеты:
   Теперь, зная, что $c = 68$, используем теорему Пифагора:

   $$c^2 = a^2 + b^2.$$

   Поскольку треугольник равнобедренный, то $a = b$. Тогда у нас получается:

   $$c^2 = 2a^2.$$

   Подставим значение $c = 68$:

   $$68^2 = 2a^2.$$ $$4624 = 2a^2.$$

   Разделим обе части на 2:

   $$a^2 = 2312.$$

   Теперь извлечем квадратный корень:

   $$a = \sqrt{2312} \approx 48.$$

Ответ: катет этого треугольника равен примерно 48.