Как найти расстояние (в прямоугольным треугольнике) между центрами вписанной описанной окружности

Если треугольник прямоугольный (пусть катеты $a$ и $b$, гипотенуза $c$), то центр описанной окружности $O$ — это середина гипотенузы, а центр вписанной окружности $I$ — инцентр.

Самый короткий путь — использовать формулу Эйлера, справедливую для любого треугольника:

где $R$ — радиус описанной окружности, $r$ — радиус вписанной.

Для прямоугольного треугольника

Тогда

Если хотите всё через катеты, подставьте $c=\sqrt{a^2+b^2}$:

Для наглядности можно вывести то же самое координатно. Разместим вершины прямого угла в $(0,0)$, остальные в $(a,0)$ и $(0,b)$. Тогда

Расстояние

что после упрощения даёт прежнюю формулу.