В равностороннем треугольнике ABC точки М N K середины сторон AB,BC и СА соответственно. Докажите, что треугольник MNK- равносторонний

Для доказательства того, что треугольник $\triangle MNK$ является равносторонним, воспользуемся свойствами медиан и особенностями равностороннего треугольника.

1. Пусть $\triangle ABC$ — равносторонний: это значит, что все его стороны равны ($AB = BC = CA$) и все углы равны $60^\circ$.

2. Рассмотрим точки M, N, и K, которые являются серединами сторон $AB$, $BC$ и $CA$ соответственно. Так как они середины сторон равностороннего треугольника, то $M$, $N$, и $K$ — точки пересечения медиан, которые в равностороннем треугольнике делят его стороны пополам и одновременно являются высотами, биссектрисами и медианами.

3. Докажем, что треугольник $MNK$ является равносторонним.

   Так как $M$, $N$, и $K$ — середины сторон, то каждая из сторон $MN$, $NK$, и $KM$ будет параллельна одной из сторон треугольника $\triangle ABC$ и равна её половине. Для ясности обозначим:

   • $MN \parallel AC$ и $MN = \frac{1}{2} \cdot AC$,
   • $NK \parallel AB$ и $NK = \frac{1}{2} \cdot AB$,
   • $KM \parallel BC$ и $KM = \frac{1}{2} \cdot BC$.

   Так как $AB = BC = CA$ (все стороны равны по определению равностороннего треугольника), то:

   $$MN = NK = KM = \frac{1}{2} \cdot AB$$

   Отсюда следует, что $MN = NK = KM$, т.е., стороны треугольника $MNK$ равны.

4. Проверим углы треугольника $MNK$.

   В равностороннем треугольнике $\triangle ABC$ все углы равны $60^\circ$. Поскольку треугольник $MNK$ построен путем соединения середины сторон, то углы между параллельными сторонами $MNK$ также будут равны $60^\circ$ (это углы, соответствующие углам треугольника $ABC$ и делящиеся пополам).

   Таким образом, каждый угол в треугольнике $MNK$ равен $60^\circ$, и все его стороны равны.

5. Вывод: треугольник $MNK$ является равносторонним, так как у него равны все стороны и углы.