Отрезки AB и CD пересекаются в точке O, которая является серединой каждого из них. Докажите равенство треугольников ACO и BDO.

Для доказательства равенства треугольников $ACO$ и $BDO$, воспользуемся несколькими геометрическими свойствами.

1. Местоположение точек:

   • $O$ — это точка пересечения отрезков $AB$ и $CD$, и при этом $O$ является серединой каждого из этих отрезков. То есть:

     • $O$ — середина отрезка $AB$, значит $AO = BO$.

     • $O$ — середина отрезка $CD$, значит $CO = DO$.

2. Стороны треугольников:
   Рассмотрим треугольники $ACO$ и $BDO$:

   • В треугольнике $ACO$ отрезки $AO$ и $CO$ — это стороны.

   • В треугольнике $BDO$ отрезки $BO$ и $DO$ — это стороны.

3. Равенство соответствующих сторон:

   • Мы уже знаем, что $AO = BO$ (так как $O$ — середина $AB$).

   • Также $CO = DO$ (так как $O$ — середина $CD$).

4. Общие элементы:

   • Оба треугольника имеют общую сторону $O$, которая является общей для обеих фигур.

5. Признак равенства треугольников:
   Мы знаем, что если два треугольника имеют по две равные стороны и угол между ними одинаков, то такие треугольники равны по признаку равенства по двум сторонам и углу между ними (SAS — Side-Angle-Side). В данном случае угол $ACO$ равен углу $BDO$, так как это вертикальные углы (углы, образованные пересечением двух прямых).

Таким образом, мы доказали, что треугольники $ACO$ и $BDO$ равны, потому что:

• $AO = BO$,

• $CO = DO$,

• углы $ACO$ и $BDO$ равны (вертикальные углы).

Следовательно, $\triangle ACO \cong \triangle BDO$.