Отрезки AE и DC пересекаются в точке B, являющейся серединой каждого из них. Докажите,что треугольники ABC и EBD равны. Найдите углы A и C треугольника
ABC,если в треугольнике BDE угол D=47 градусам, угол E=42 градусам

Дано:

• Отрезки AE и DC пересекаются в точке B.
• Точка B — середина каждого из этих отрезков, то есть $AB = BE$ и $CB = BD$.
• В треугольнике BDE угол D = 47°, угол E = 42°.

Необходимо доказать, что треугольники ABC и EBD равны, а затем найти углы A и C в треугольнике ABC.

1. Доказательство, что треугольники ABC и EBD равны:

Для того чтобы доказать равенство треугольников, нам нужно использовать критерии равенства треугольников. Рассмотрим следующие моменты:

1. Равенство сторон:

   • $AB = BE$ (по условию, B — середина отрезка AE).
   • $CB = BD$ (по условию, B — середина отрезка DC).

2. Равенство углов:

   • Угол $\angle ABC = \angle EBD$. Это следует из того, что линии AE и DC пересекаются в точке B, и соответственные углы при пересечении прямых равны.

3. Третий угол:

   • Угол $\angle ACB$ равен углу $\angle DBE$ по свойствам вертикальных углов при пересечении отрезков AE и DC.

Итак, мы доказали, что:

• $AB = BE$,
• $CB = BD$,
• $\angle ABC = \angle EBD$,
• $\angle ACB = \angle DBE$.

По критерию равенства треугольников по трем сторонам (SSS) или по двум сторонам и углу между ними (SAS) можем утверждать, что треугольники ABC и EBD равны.

2. Нахождение углов A и C треугольника ABC:

Теперь, зная, что треугольники ABC и EBD равны, можем использовать информацию о углах в треугольнике BDE для нахождения углов в треугольнике ABC.

В треугольнике BDE сумма углов равна 180°. Известно, что:

• $\angle D = 47^\circ$,
• $\angle E = 42^\circ$.

Таким образом, угол $\angle B$ в треугольнике BDE можно найти как:

Так как треугольники ABC и EBD равны, углы $\angle ABC$ и $\angle EBD$ одинаковы. То есть:

Теперь, чтобы найти углы A и C в треугольнике ABC, воспользуемся тем, что сумма углов в любом треугольнике равна 180°. В треугольнике ABC:

Из предыдущего шага мы знаем, что $\angle ABC = 91^\circ$, а также, что $\angle ACB = \angle DBE = 47^\circ$ (так как треугольники ABC и EBD равны, соответственные углы равны). Таким образом, можно найти угол A:

А угол C в треугольнике ABC равен углу D в треугольнике BDE, то есть:

Ответ:

• Угол A в треугольнике ABC равен 42°.
• Угол C в треугольнике ABC равен 47°.