Точка М не лежит в плоскости трапеции ABCD (AD параллельна BC). А) Доказать, что треугольники MAD и MBC имеют параллельные средние линии. Б) Найти длины этих средних линий, если AD:BC=5:3, а средняя линия трапеции равна 16 см.

А) Обозначу середины:
— В треугольнике $MAD$: $E$ — середина $MA$, $F$ — середина $MD$. Тогда по свойству средней линии $EF\parallel AD$.
— В треугольнике $MBC$: $P$ — середина $MB$, $Q$ — середина $MC$. По тому же свойству $PQ\parallel BC$.

В трапеции $ABCD$ по условию $AD\parallel BC$. Значит, $EF\parallel AD$ и $PQ\parallel BC$, а так как $AD\parallel BC$, получаем $EF\parallel PQ$. То есть средние линии в треугольниках $MAD$ и $MBC$ параллельны.

Б) Длина средней линии треугольника равна половине основания, которому она параллельна. Поэтому:

Дано: $\dfrac{AD}{BC}= \dfrac{5}{3}$ и средняя линия трапеции равна $16$ см. Средняя линия трапеции равна полусумме оснований:

Пусть $AD=5k$, $BC=3k$. Тогда $5k+3k=32\Rightarrow k=4$. Отсюда

Следовательно,

Ответ: средние линии соответствующих треугольников параллельны; их длины $10$ см (в $\triangle MAD$) и $6$ см (в $\triangle MBC$).