Плоскости a и b пересекаются по прямой c. Прямая a лежит в плоскости a. Докажите, что если: а) a пересекает плоскость b в точке A, то A принадлежит прямой c; б) a параллельна плоскости b, то она параллельна прямой c.

2. Точки A и B принадлежат смежным боковым граням призмы. Проведите в этих гранях через данные точки два отрезка, параллельные между собой.

Задача 1: Плоскости a и b пересекаются по прямой c

a) Если прямая $a$ пересекает плоскость $b$ в точке $A$, то $A$ принадлежит прямой $c$.

Решение: Плоскости $a$ и $b$ пересекаются по прямой $c$, это означает, что прямая $c$ является общим множеством точек, лежащих одновременно в обеих плоскостях. То есть, все точки прямой $c$ одновременно принадлежат плоскости $a$ и плоскости $b$.

Теперь рассмотрим прямую $a$, которая пересекает плоскость $b$ в точке $A$. Это означает, что точка $A$ лежит на прямой $a$ и на плоскости $b$. Поскольку плоскости $a$ и $b$ пересекаются вдоль прямой $c$, и точка $A$ лежит в обеих этих плоскостях (плоскости $a$ и $b$), то точка $A$ должна принадлежать прямой $c$, поскольку $c$ — это линия их пересечения.

Вывод: Точка $A$ принадлежит прямой $c$.

б) Если прямая $a$ параллельна плоскости $b$, то она параллельна прямой $c$.

Решение: Если прямая $a$ параллельна плоскости $b$, то прямая $a$ не пересекает плоскость $b$, и, следовательно, не может быть направлена вдоль прямой $c$, которая является линией пересечения плоскостей $a$ и $b$.

Прямая $c$ — это линия пересечения двух плоскостей. Если $a$ параллельна плоскости $b$, то она никогда не пересечет плоскость $b$, и, соответственно, не пересечет прямую $c$, поскольку она расположена в плоскости $b$. Это означает, что прямая $a$ не имеет общих точек с прямой $c$, следовательно, она параллельна прямой $c$.

Вывод: Если прямая $a$ параллельна плоскости $b$, то прямая $a$ параллельна и прямой $c$.

Задача 2: Точки $A$ и $B$ принадлежат смежным боковым граням призмы. Проведите в этих гранях через данные точки два отрезка, параллельные между собой.

Решение: Для решения этой задачи предположим, что дана прямая призма (например, прямоугольная призма) с боковыми гранями. Пусть $A$ и $B$ — точки на смежных боковых гранях этой призмы.

1. Выбор отрезков на смежных гранях: Так как нам нужно провести два отрезка, параллельных между собой, мы будем рассматривать эти отрезки как части прямых, которые проходят через точки $A$ и $B$ в соответствующих боковых гранях.

2. Конструкция:

   • Из точки $A$ на одной боковой грани призмы можно провести прямую, параллельную другой боковой грани (например, если боковые грани прямоугольной призмы являются параллелограммами, то такие прямые будут параллельны).
   • Аналогично, из точки $B$ на смежной грани можно провести прямую, параллельную аналогичной прямой, полученной через точку $A$.

3. Параллельность отрезков: Эти две прямые будут параллельны, так как они лежат на смежных боковых гранях, и прямые на параллельных гранях параллельны между собой. Отрезки, проведенные через $A$ и $B$ соответственно, будут параллельны, потому что они являются частью этих прямых.

Вывод: Мы провели два отрезка, параллельных между собой, на смежных боковых гранях призмы через точки $A$ и $B$.