DABC - правильный тетраэдр, длина ребра которого равна 4 см, точка K - середина ребра DC. Вычислите площадь боковой поверхности пирамиды KABD.

Рассмотрим пирамиду KABD. Её основание — треугольник ABD, а боковые грани — треугольники:

• KAB

• KAD

• KBD

Значит, площадь боковой поверхности:

1) Найдём длины $KA$ и $KB$

Дан правильный тетраэдр $DABC$, значит все рёбра равны 4 см. В частности,

Точка $K$ — середина ребра $DC$, значит

Длина $KA$

Рассмотрим треугольник $ADC$. Он равносторонний со стороной 4. Точка $K$ — середина $DC$, поэтому $AK$ — медиана равностороннего треугольника, а значит и высота.

Высота равностороннего треугольника со стороной $a$:

Тогда

Аналогично в равностороннем треугольнике $BDC$ получаем:

2) Площадь грани $KAB$

Треугольник $KAB$ имеет стороны:

Это равнобедренный треугольник. Высота из $K$ на основание $AB$ делит $AB$ пополам, значит половина основания:

Высота:

Площадь:

3) Площади граней $KAD$ и $KBD$

Треугольники $KAD$ и $KBD$ устроены одинаково (по симметрии), и у них одинаковые наборы сторон:

Для $KAD$: