Дано ABCA₁B₁C₁ - правильная призма, O - центр ΔABC, угол C₁OC=30°, C₁O=4√3. Найти V.

Так как призма правильная, то она прямая, а основание $ABC$ — равносторонний треугольник. Точки $A_1,B_1,C_1$ получаются вертикальным переносом вверх на высоту призмы $h$, то есть $CC_1=h$.

Обозначим

(расстояние от центра равностороннего $\triangle ABC$ до вершины $C$; это же радиус описанной окружности треугольника).

1) Свяжем $R$ и $h$ через угол $\angle C_1OC = 30^\circ$

Рассмотрим векторы $\overrightarrow{OC}$ и $\overrightarrow{OC_1}$.

• $\overrightarrow{OC}$ лежит в основании и имеет длину $R$.

• $\overrightarrow{OC_1}$ идет к точке над $C$, поэтому его горизонтальная проекция — это $\overrightarrow{OC}$, а вертикальная составляющая — $h$. Значит

Угол между $\overrightarrow{OC_1}$ и $\overrightarrow{OC}$ равен $30^\circ$, поэтому

Скалярное произведение здесь равно $R^2$ (общая горизонтальная часть), значит

Подставляем $\cos 30^\circ=\frac{\sqrt3}{2}$:

Возводим в квадрат: